Los modelos matemáticos son una descripción precisa de un problema, proceso o tecnología en forma matemática. Estos modelos están diseñados para aprender más sobre una tecnología, sistema o método. Los modelos explican por qué el sistema o proceso funciona como lo hace y ayudan a estudiar los efectos y predecir los resultados. Los modelos matemáticos son esenciales para los científicos e ingenieros porque nos permiten estudiar fenómenos que no se pueden ver ni medir. Los modelos también son creados por científicos sociales, economistas, analistas de negocios y estadísticos.

Ejemplos de modelos matemáticos son:

• La cantidad de calor que genera una pila de combustible.

• La cantidad de combustible necesaria para una pila de combustible.

• La cantidad de electricidad generada por una pila de combustible, batería o célula solar.

• La cantidad de viento necesaria para producir una determinada cantidad de energía mediante una torre eólica.

• El caudal de fluido a través de un canal de flujo de celda de combustible.

• Resultados de la tirada de dados

• Condiciones climáticas como tormentas tropicales y huracanes.

• La estabilidad de una montaña rusa

• Resultados del mercado de valores

Los pasos necesarios para crear un modelo matemático son comparables a las fases utilizadas para el método científico. Esto incluye observar, investigar, construir un modelo y predecir el resultado.

La fase de observación incluye observar y medir lo que está sucediendo en el mundo real. Esto puede consistir en recopilar datos empíricos o mediciones cuantitativas. Si queremos predecir la cantidad de calor que genera una pila de combustible, la etapa de observación puede incluir medir la temperatura de diferentes partes de la pila de combustible (como el MEA, las placas bipolares, las placas terminales y la temperatura del entorno). . Podemos notar que el MEA se está calentando, lo que afecta las demás temperaturas que se están midiendo. A partir de esta observación, podemos optar por crear una hipótesis. Quizás no entendamos a estas alturas por qué el AMUMA se está calentando.

La fase de investigación consiste en realizar investigaciones a través de Internet, libros y artículos y publicaciones científicas. Si todavía estamos trabajando para predecir la cantidad de calor que genera una pila de combustible, podemos investigar y descubrir que existen ecuaciones que incluyen la temperatura en la capa de catalizador del MEA.
La fase de modelado incluye crear o ingresar las ecuaciones necesarias en software como Excel, MATLAB, Mathematica, SASS u otro programa de software. A menudo se incluyen muchas ecuaciones en un modelo para predecir un resultado. Los modelos empíricos se crean utilizando datos recopilados durante la fase de observación para generar una o más ecuaciones mediante regresión o metodología similar. En nuestro ejemplo de predicción de calor, podemos poner las ecuaciones de polarización para crear nuestro modelo.

La fase de predicción utiliza el modelo diseñado para predecir lo que sucederá en un experimento aún por realizar o en un conjunto anticipado de eventos en el mundo real. En nuestro ejemplo de predicción de calor, usaríamos nuestro modelo para predecir la celda de combustible y las temperaturas circundantes después de un tiempo particular (por ejemplo, funcionando continuamente durante 72 horas).
La mayoría de los científicos e ingenieros realizan experimentos en lugar de crear modelos, lo que significa que recopilan observaciones y las convierten en un modelo matemático. El experimentador diseña un estudio, realiza experimentos y luego registra y analiza los resultados. Por el contrario, el modelador matemático utilizará algunos de los aspectos del problema del mundo real como entradas a su sistema numérico, pero obtendrá sus ecuaciones a partir de investigaciones u otros estudios.

Los ingenieros suelen utilizar modelos de diversa complejidad para diseñar correctamente equipos, dispositivos y procesos. Por ejemplo, cada vehículo, avión o edificio es el resultado de una predicción basada en un modelo que:

• El vehículo funcionará según lo diseñado.

• El edificio se mantendrá

• El avión volará

La predicción en el diseño de ingeniería supone que los recursos se pueden invertir con confianza porque el resultado previsto será correcto. Dependiendo del diseño y modelo, también puede eliminar meses o años de tiempo experimental. Los experimentos a menudo sólo miden y analizan adecuadamente un cierto porcentaje de las variables. Además, al investigar nuevas tecnologías, es posible que se desconozca o no se pueda medir la importancia de las variables individuales. Para que un modelo matemático sea completo, debe incluir todas las variables críticas.

Pasos para crear un modelo matemático

Cuando piensas en crear un modelo matemático, ya tienes algunas observaciones sobre el mundo real. Debería poder identificar fácilmente la necesidad del modelo:

• No se pueden ver los fenómenos que ocurren directamente

• El número de experimentos sería demasiado costoso o consumiría mucho tiempo.

• No está seguro de lo que está ocurriendo.

Cuando esté listo para crear un modelo matemático, a continuación se enumeran algunas preguntas y pensamientos que pueden resultar útiles:

1) ¿Qué buscamos? ¿Cómo debemos mirar este modelo? Identificar los principios centrales. Comience con observaciones sobre el mundo real y recopile la información que sea relevante para el modelo matemático.

2) ¿Qué queremos saber? Se debe crear una lista de preguntas que deben responderse. Una vez que haya decidido el alcance del problema, se deben identificar todos los datos relevantes. Las preguntas “¿qué sabemos?” o «¿qué información hay disponible para ayudar a resolver nuestro problema?»

3) ¿Qué sabemos de los experimentos y la literatura? Realizar una búsqueda exhaustiva de la literatura. Es posible que alguien ya haya creado un modelo matemático del proceso o problema que estás intentando resolver.

4) ¿Cómo deberíamos mirar su modelo? Dibuja diagramas de lo que quieres modelar. Esto ayudará a aclarar las entradas y salidas de su modelo y comenzará a definir el alcance del problema.

5) ¿Qué suposiciones podemos hacer para eliminar variables? Cree una lista de supuestos para aclarar el alcance del modelo.

6) ¿Qué predecirá nuestro modelo? Comience con un modelo simplista y luego agregue complejidad según sea necesario. Identificar y construir las ecuaciones que se utilizarán y las respuestas resultantes. Si está construyendo un modelo empírico, cree ecuaciones a partir de los datos que ha obtenido.

7) ¿Cuáles son las variables de entrada y salida? Cree una lista de variables de entrada y salida. Defina cada constante y determine las variables que necesita resolver.

8) ¿Son válidos los resultados? Valide su modelo con datos que no utilizó para crear el modelo. Identificar pruebas que puedan validar el modelo.

9) Pruebe continuamente su modelo y actualice sus ecuaciones en función de nuevos datos e información.

Si hay buena concordancia entre las observaciones y las predicciones del modelo, entonces el sistema matemático captura los aspectos esenciales del escenario del mundo real. Sin embargo, es posible que algunas predicciones matemáticas no coincidan estrechamente con los acontecimientos observados. Esto es común cuando estás creando un modelo nuevo o si no has recopilado datos suficientes. Cuando esto ocurre, el modelo debe modificarse para mejorar su precisión. Las predicciones incorrectas pueden ayudarle a repensar los supuestos del modelo matemático. Los supuestos incorrectos del modelo revisado conducirán a una versión del modelo más sofisticada y precisa. El objetivo no es necesariamente crear el modelo más preciso de su problema o proceso, sino que el modelo prediga un resultado real.

Clasificación de modelos matemáticos

¡Hay muchas formas de crear el mismo modelo matemático! Al contrario de lo que puedan pensar la mayoría de los modelistas principiantes, no existe una forma “correcta”. Hay dos clasificaciones principales de modelos: empíricos y no empíricos:

1) Los modelos empíricos se crean a partir de datos reales y experimentos pasados.

2) Los modelos no empíricos utilizan ecuaciones basadas en relaciones existentes en la literatura. Los modelos también pueden incluir nuevas ecuaciones derivadas por la persona que realiza el modelado matemático.

Los modelos matemáticos suelen ser sistemas dinámicos, pero también pueden ser de naturaleza estadística o lógica:

1) Dinámico o estático: los modelos que son dinámicos utilizan un enfoque realista porque consideran el tiempo o el espacio. Esto generalmente se logra mediante ecuaciones diferenciales (ED) o ecuaciones diferenciales parciales (PDE). Los modelos que son estáticos a menudo solo tienen una posición relativa al tiempo o al espacio.

2) Determinista o probabilístico: Un modelo determinista es aquel en el que el modelo puede predecir cada estado. Estos modelos funcionan de manera similar para un conjunto específico de condiciones. En un modelo probabilístico, la aleatoriedad debe tenerse en cuenta mediante distribuciones de probabilidad.

3) Empírico: este modelo se basa en resultados experimentales. Los datos se analizan estadísticamente y luego se desarrollan ecuaciones empíricas basadas en los datos.

Si su modelo es preciso, puede ejecutarlo con diferentes entradas y condiciones para predecir resultados. Un modelo matemático robusto puede reemplazar los experimentos. Si se han recopilado datos importantes, se pueden analizar en busca de patrones para crear modelos. El proceso de construcción de modelos obliga al científico o ingeniero a examinar cuidadosamente todos los aspectos del problema y reevaluar nuestras creencias. Este proceso ayuda a mejorar nuestra comprensión del problema a resolver. Este es un enfoque más exhaustivo que simplemente recopilar datos. Los científicos que no construyen modelos a veces descubren que después de obtener una cantidad significativa de datos, han recopilado datos incorrectos.

Conclusión

Esto puede parecer intimidante para el principiante en el modelado matemático, pero recomendaría comenzar de la manera más simple posible. Esto puede implicar el uso de ecuaciones de libros de texto o clases anteriores que haya tomado para generar una respuesta que le parezca razonable. Esto facilita la creación de un modelo y se puede incorporar complejidad a un modelo según sea necesario. Los modeladores experimentados pueden comenzar con una mayor complejidad porque entienden cómo codificar el modelo correctamente y cómo adaptarlo a su modelo existente.